JOHN平均律は純正五度を７等比分割して得られた半音１２個でオクターブが構成されました。
では、純正五度を３１等比分割してみましょう。この単位を５３個でオクターブに成ります。
((3/2)^(1/31))^53 = 2.0001347 オクターブの誤差は、なんと0.1セントほどしかありません。実質上 無視されてしまう範囲の値です。
このオクターブを使って次のようにピタゴラス音階を作ってみました。
例題としてＣを基準にしました。 音程は C*((3/2)^(1/31))^n になります。
| 音名 | C | D | E | F | G | A | B | C' | ||||||||||
| C# | Db | D# | Eb | F# | Gb | G# | Ab | A# | Bb | |||||||||
| n= | 0 | 4 | 5 | 9 | 13 | 14 | 18 | 22 | 26 | 27 | 31 | 35 | 36 | 40 | 44 | 45 | 49 | 53 |
| 差(単位) | 4 | 1 | 4 | 4 | 1 | 4 | 4 | 4 | 1 | 4 | 4 | 1 | 4 | 4 | 1 | 4 | 4 | |
| 差(単位) | 9 | 9 | 4 | 9 | 9 | 9 | 4 | |||||||||||
| #やbは便宜上のもので ピタゴラスには含まれません | ||||||||||||||||||
面白いことに 単純な 法則になりました。
半音が５３音律の４単位(1.053710852)
全音が５３音律の９単位(1.124924224)
ピタゴラスコンマは５３音律の１単位(1.013165431)になります。
それぞれの５度関係を調べてみました。
| 5度関係 | 差（単位） | |
| C-G | 31 | |
| G-D | 31 | ヴァイオリンの調弦と一致する |
| D-A | 31 | ヴァイオリンの調弦と一致する |
| A-E | 31 | ヴァイオリンの調弦と一致する |
| E-B | 31 | |
| B-F# | 30 | 半音が２ヶ所含まれる故 純正になるためには１単位上がらなくてはならない |
| F#-C# | 31 | |
| C#-G# | 31 | |
| G#-D# | 31 | |
| D#-A# | 31 | |
| A#-F | 31 | A#-C は全音（９単位）なので 半音は１ヶ所 |
| F-C | 31 |
C-G,G-D,D-A,A-E,E-B,F-C は完全五度(３１単位)でピタゴラス音階の定義を満足しています。
また、オーケストラの主体楽器であるバイオリンの調弦とも一致しています。
この表はC調におけるものですから、転調すれば、その調性のピタゴラス音階を使わなければなりません。
余談ですが、「属調(V)に転調を繰り返して最初の調に戻ったとき半音の１／４（１単位）高くなる理由」はこの表から容易に察することができます。
５３は素数であり、９（全音）の倍数でも４（半音）の倍数でもありません。
純正長三度を１７等比分割してみましょう。
純正長三度を基調とした５３等比音律の１オクターブは((5/4)^(1/17))^53=
2.005077747=1204.389814cent
和音を構成する５度は((5/4)^(1/17))^31=1.502167145
| 音名 | C | D | E | F | G | A | B | C' | D' |
| n= | 0 | 9 | 17 | 22 | 31 | 39 | 48 | 53 | 62 |
| 差(単位) | 9 | 8 | 5 | 9 | 8 | 9 | 5 | 9 | |
| 差(単位) I | 17 | 14 | |||||||
| 差(単位) IV | 17 | 14 | |||||||
| 差(単位) V | 17 | 14 | |||||||
純正短三度を１４等比分割してみましょう。
純正短三度を基調とした５３等比音律の１オクターブは((6/5)^(1/14))^53=
1.994148859=1194.927729cent
和音を構成する５度は((6/5)^(1/14))^31=1.497372669
| 音名 | C | D | Eb | F | G | Ab | Bb | C' | D' |
| 音名 | A | B | C | D | E | F | G | A' | B' |
| n= | 0 | 9 | 14 | 22 | 31 | 36 | 45 | 53 | 62 |
| 差(単位) | 9 | 5 | 8 | 9 | 5 | 9 | 8 | 9 | |
| 差(単位) I | 14 | 17 | |||||||
| 差(単位) IV | 14 | 17 | |||||||
| 差(単位) V | 14 | 17 | |||||||
誤差としてはやや大き目で、いささか気も引けるのですが、このような表にまとめることができます。
他の純正音階を検証してみましょう。
純正二度を９等比分割した５３音律の１オクターブは ((9/8)^(1/9))^53
= 2.000928274 = 1200.803344cent
純正四度を２２等比分割した５３音律の１オクターブは ((4/3)^(1/22))^53
= 1.999810179 = 1199.83568cent
純正長六度を３９等比分割した５３音律の１オクターブは ((5/3)^(1/39))^53
= 2.002104595 = 1201.820815cent
純正七度を４８等比分割した５３音律の１オクターブは ((15/8)^(1/48))^53
= 2.001883982 = 1201.630039cent
純正短六度を３６等比分割した５３音律の１オクターブは ((8/5)^(1/36))^53
= 1.997606647 = 1197.927032cent
純正短七度を４５等比分割した５３音律の１オクターブは ((9/5)^(1/45))^53
= 1.998270531 = 1198.502295cent
いずれも、５３音律が成り立ち得るのが解ります。
| n= | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| ピタゴラス | C | C# | Db | D | D# | Eb | ||||||||||||
| 純正調 | C | D | E | |||||||||||||||
| 純正調Cm | C | D | Eb | |||||||||||||||
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| n= | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| ピタゴラス | E | F | F# | Gb | G | G# | ||||||||||||
| 純正調 | F | G | ||||||||||||||||
| 純正調Cm | F | G | ||||||||||||||||
|
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| n= | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 |
| ピタゴラス | Ab | A | A# | Bb | B | C | ||||||||||||
| 純正調 | A | B | C | |||||||||||||||
| 純正調Cm | Ab | Bb | C | |||||||||||||||
純正の長和音を構成する音は、根音と五度は一致するものの、長調を決定付ける長三度の音が、ピタゴラスより１単位低くなっています。
いささか強引かも知れませんが、自然発生音律であるピタゴラスと純正調はこのような関係にあったのです。
初稿 1997年5月 NiftyServe FMIDIKB
更新日 1999/02/02
(C) john&kirara